由于市面上高数辅导讲义种类繁多（如同济版《高等数学》配套讲义、张宇、汤家凤、李永乐等名师的辅导书等），我无法提供您手头那本讲义的精确页码和原题，我可以为您整理一份覆盖高数核心知识点的典型例题、解题思路、详细答案和常见误区注解。
这份资料可以作为您自查自学的“标准答案库”和“思路拓展器”，您可以将讲义上的题目与下面的例题进行对照，或者遇到难题时，来这里寻找相似的解题方法和思路。
高等数学辅导讲义（答案与精解）
第一章 函数、极限与连续
核心考点： 极限的计算、连续性的判断、间断点分类。
例题 1：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$
【答案】 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} = 1 $$
【解题思路与注解】
有理化分子（最经典、最稳妥的方法）
- 识别结构： 当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} \to 0$，分母 $x \to 0$，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
- 有理化： 针对含有根号的差，我们使用“有理化”技巧，即分子分母同时乘以 $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} $$
- 化简分子： 分子利用平方差公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。 $$ \lim{x \to 0} \frac{(1+x) - (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} $$
- 约分并计算： 约去 $x$，然后直接代入 $x=0$。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1 $$
洛必达法则（适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型）
- 验证条件： 当 $x \to 0$ 时，分子分母都趋于 0，满足洛必达法则的条件。
- 分别求导：
- 分子导数：$(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
- 分母导数：$(x)' = 1$
- 计算新极限： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$
【常见误区注解】
- 误区1：直接代入。 直接代入 $x=0$ 会导致分母为 0，这是不允许的，必须先进行化简或使用法则。
- 误区2：有理化方向错误。 有人会尝试有理化分母，但本题分母是单项 $x$，有理化分母没有意义，有理化/通分的方向永远是针对导致“0/0”或“∞/∞”的复杂部分（通常是分子或分母中的多项式或根式）。
- 误区3：洛必达法则使用后未化简。 有时求导后式子依然复杂，需要继续化简或再次使用洛必达法则，不能直接认为算不出来。
例题 2：讨论函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ 的间断点及其类型。
【答案】 $x=1$ 为可去间断点，$x=2$ 为无穷间断点。
【解题思路与注解】
- 找出无定义的点： 函数 $f(x)$ 是有理函数，间断点出现在分母为零的地方。 $$ x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0 \implies x=1 \text{ 或 } x=2 $$ $x=1$ 和 $x=2$ 是两个潜在的间断点。
- 化简函数： 对分子分母进行因式分解，看看能否约分。 $$ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} $$ 可以看到，在 $x \neq 1$ 的前提下，可以约去 $(x-1)$，得到： $$ f(x) = \frac{x+1}{x-2} \quad (x \neq 1) $$
- 判断间断点类型：
- 对于 $x=1$：
- 计算 $\lim{x \to 1} f(x)$，由于 $x \to 1$ 但 $x \neq 1$，我们可以使用化简后的表达式来计算极限。 $$ \lim{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = \frac{1+1}{1-2} = -2 $$ 极限存在且为有限值，但函数在 $x=1$ 处无定义。$x=1$ 是可去间断点。
- 对于 $x=2$：
- 计算 $\lim{x \to 2} f(x)$，同样使用化简后的表达式。 $$ \lim{x \to 2} \frac{x+1}{x-2} $$ 当 $x \to 2^+$ 时，分母 $(x-2) \to 0^+$，分子 $(x+1) \to 3$，$\lim{x \to 2^+} f(x) = +\infty$。 当 $x \to 2^-$ 时，分母 $(x-2) \to 0^-$，分子 $(x+1) \to 3$，$\lim{x \to 2^-} f(x) = -\infty$。 左右极限至少有一个为无穷大，$x=2$ 是无穷间断点（也属于第二类间断点）。
- 对于 $x=1$：
【常见误区注解】
- 误区1：不化简直接判断。 如果不约分，直接代入 $x=1$ 会得到 $\frac{0}{0}$，无法直接判断极限是否存在。化简是判断可去间断点的关键步骤。
- 误区2：混淆间断点类型。
- 可去间断点：极限存在（为有限数），但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。
- 跳跃间断点：左右极限存在但不相等（属于第一类间断点）。
- 无穷间断点：左右极限至少有一个为无穷大（属于第二类间断点）。
- 振荡间断点：极限不存在且不为无穷大（$\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$，属于第二类间断点）。
第二章 导数与微分
核心考点： 复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、高阶导数。
例题 3：设 $y = \ln(\sin x^2)$，求 $dy$ 和 $y'$。
【答案】 $$ y' = \frac{2x \cos x^2}{\sin x^2} =
