二次函数全能辅导讲义
第一部分：基础知识梳理
二次函数的定义
定义： 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a, b, c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数，叫做二次函数。
- 核心要素： 二次项系数
a不能为零。a=0，函数就退化为一次函数y = bx + c。 - 自变量：
x - 因变量：
y - 函数解析式：
y = ax² + bx + c称为一般式。
二次函数的三种常见表达式
除了定义中的一般式，二次函数还有另外两种非常重要的形式，它们各有侧重。
| 表达式形式 | 名称 | 特点与应用 |
|---|---|---|
y = ax² + bx + c |
一般式 | 便于进行加、减等运算。 |
y = a(x - h)² + k |
顶点式 | (a, h, k) 直接给出抛物线的顶点坐标。 |
y = a(x - x₁)(x - x₂) |
交点式/两根式 | (x₁, 0), (x₂, 0) 直接给出抛物线与 x轴的交点坐标（前提是存在）。 |
三种形式的转换：
- 一般式 → 顶点式： 通过配方法。
- 顶点式 → 一般式： 通过完全平方公式展开后合并同类项。
- 一般式 → 交点式： 先求出方程
ax² + bx + c = 0的两个根x₁,x₂，然后写成y = a(x - x₁)(x - x₂)。
第二部分：图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线，所有抛物线的性质都由解析式中的参数 a, b, c 决定。
抛物线的六要素
| 要素 | 定义/求法 | 由哪个参数决定？ |
|---|---|---|
| 开口方向 | 向上或向下 | a 的符号：- a > 0，开口向上- a < 0，开口向下 |
| 开口大小 | 开口越宽或越窄 | |a| 的大小：- |a| 越大，开口越窄- |a| 越小，开口越宽 |
| 对称轴 | 抛物线的对称直线 | x = -b/(2a) (一般式)x = h (顶点式) |
| 顶点坐标 | 抛物线的最高点或最低点 | (-b/(2a), (4ac-b²)/(4a)) (一般式)(h, k) (顶点式) |
| y轴截距 | 抛物线与y轴的交点 | 令 x = 0，得 y = c，所以交点为 (0, c)。 |
| x轴交点 | 抛物线与x轴的交点 | 令 y = 0，解方程 ax² + bx + c = 0。- Δ > 0，有两个交点 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)。- Δ = 0，有一个交点（顶点在x轴上） (x₀, 0)。- Δ < 0，无交点。 |
重要工具：判别式
Δ = b² - 4ac它不仅决定了x轴交点的情况，还与二次函数的最值有关。
二次函数的性质（增减性）
抛物线的对称轴 x = -b/(2a) 是其增减性的分界线。
-
当
a > 0时：- 对称轴左侧 (
x < -b/(2a))：y随x的增大而减小。 - 对称轴右侧 (
x > -b/(2a))：y随x的增大而增大。 - 顶点处：函数有最小值
y_min = k或y_min = (4ac-b²)/(4a)。
- 对称轴左侧 (
-
当
a < 0时：- 对称轴左侧 (
x < -b/(2a))：y随x的增大而增大。 - 对称轴右侧 (
x > -b/(2a))：y随x的增大而减小。 - 顶点处：函数有最大值
y_max = k或y_max = (4ac-b²)/(4a)。
- 对称轴左侧 (
第三部分：核心思想与解题技巧
数形结合思想
这是解决二次函数问题的灵魂，要学会从解析式中读出图像信息，也要能根据图像特征反推解析式性质。
“看式想图，看图想式”
从解析式 y = ax² + bx + c 能想到什么？ |
从图像能读出什么？ |
|---|---|
a 的符号 → 开口方向 |
开口方向 → a 的符号 |
|a| 的大小 → 开口宽窄 |
开口宽窄 → |a| 的大小 |
c 的值 → y轴截距 |
y轴交点 → c 的值 |
Δ = b² - 4ac → x轴交点个数 |
x轴交点个数 → 的符号 |
b 的符号 → 对称轴位置 |
对称轴位置（y轴左侧/右侧） → ab 的符号 |
对称轴位置口诀： 同左异右 (
ab > 0对称轴在y轴左侧，ab < 0在右侧)
a > 0, b > 0→ab > 0→ 对称轴在y轴左侧 (x < 0)a > 0, b < 0→ab < 0→ 对称轴在y轴右侧 (x > 0)
待定系数法
这是求二次函数解析式的核心方法,根据已知条件，选择合适的表达式形式，列出方程求解。
解题策略：
- 已知三个点坐标： 设一般式
y = ax² + bx + c，将三点坐标代入，解三元一次方程组。 - 已知顶点坐标 和另一个点坐标： 设顶点式
y = a(x - h)² + k，将顶点坐标代入，再将另一个点坐标代入求出a。 - 已知x轴交点坐标 和另一个点坐标： 设交点式
y = a(x - x₁)(x - x₂)，将交点坐标代入，再将另一个点坐标代入求出a。
第四部分：典型例题精讲
例题1：基础性质判断
问题： 已知二次函数 y = 2x² - 4x - 6，求：
(1) 开口方向、对称轴、顶点坐标。
(2) 函数的最值。
(3) 与坐标轴的交点坐标。
(4) 增减性。
解析：
(1) a = 2, b = -4, c = -6。
- 开口方向：
a = 2 > 0，开口向上。 - 对称轴：
x = -b/(2a) = -(-4) / (2 * 2) = 1，对称轴是直线x = 1。 - 顶点坐标：
x = 1时，y = 2(1)² - 4(1) - 6 = -8，顶点为 (1, -8)。
(2) 因为开口向上，所以函数在顶点处取得最小值。
- 最小值为 -8。
(3) 与y轴交点： 令 x = 0，y = -6，交点为 (0, -6)。
- 与x轴交点： 令
y = 0，2x² - 4x - 6 = 0。 化简得x² - 2x - 3 = 0，因式分解(x - 3)(x + 1) = 0。 解得x₁ = 3,x₂ = -1。- 交点为 (3, 0) 和 (-1, 0)。
(4) 因为开口向上，对称轴为 x = 1。
- 当
x < 1时，y随x的增大而减小。 - 当
x > 1时，y随x的增大而增大。
例题2：待定系数法求解析式
问题： 已知抛物线的顶点坐标为 (-1, 2)，且经过点 (1, 6)，求这个抛物线的解析式。
解析：
已知顶点，应设顶点式。
设解析式为 y = a(x - h)² + k。
根据顶点 (-1, 2)，可知 h = -1, k = 2。
y = a(x - (-1))² + 2，即 y = a(x + 1)² + 2。
将点 (1, 6) 代入上式：
6 = a(1 + 1)² + 2
6 = 4a + 2
4a = 4
a = 1
所求抛物线的解析式为 y = (x + 1)² + 2。
（若需要，可展开为一般式：y = x² + 2x + 3）
例题3：最值应用问题
问题： 某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件，为了获得最大利润，售价应定为多少元？此时最大利润是多少？
解析：
步骤1：设未知数
设售价定为 x 元。
则每件商品的利润为 (x - 8) 元。
每天的销售量为 200 - 20(x - 10) = 200 - 20x + 200 = 400 - 20x 件。
步骤2：列函数关系式
总利润 P = 每件利润 × 销售量
P = (x - 8)(400 - 20x)
展开得：P = -20x² + 560x - 3200
步骤3：求最值
这是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。
a = -20, b = 560
对称轴（即最优售价）x = -b/(2a) = -560 / (2 * -20) = 560 / 40 = 14 元。
将 x = 14 代入利润函数求最大利润：
P = (14 - 8)(400 - 20 * 14) = 6 * (400 - 280) = 6 * 120 = 720 元。
为了获得最大利润，售价应定为 14元，此时最大利润是 720元。
第五部分：易错点与注意事项
- 忽略
a ≠ 0的条件： 在判断函数类型时，必须确认二次项系数不为零。 - 混淆顶点式中的符号： 顶点式是
y = a(x - h)² + k，顶点是(h, k)，括号内是x - h，所以如果顶点横坐标是负数，如(-1, 2)，代入后是(x - (-1))即(x + 1)。 - 增减性判断错误： 一定要先看
a的符号确定开口方向，再看x相对于对称轴-b/(2a)的位置。 - 应用题中自变量的取值范围： 在解决实际问题时，自变量（如价格、时间）通常有实际意义的限制，不能取任意实数，销售量不能为负数。
- 计算错误： 尤其在计算对称轴
x = -b/(2a)和顶点纵坐标(4ac-b²)/(4a)时，符号和计算要非常小心。
第六部分：巩固练习
- 基础题： 求函数
y = -x² + 2x + 3的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，并画出它的大致图像。 - 求解析式：
- (1) 已知抛物线经过点
(0, -3),(1, 0),(2, 3)。 - (2) 已知抛物线与x轴交于
(-2, 0)和(4, 0)两点，且顶点的纵坐标为-9。
- (1) 已知抛物线经过点
- 应用题： 用一段长为60米的篱笆，靠墙围成一个一面靠墙的长方形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
练习题答案提示：
- 开口向下,对称轴
x=1，顶点(1,4)，最大值4。 - (1) 设一般式
y=ax²+bx+c，解方程组得y=x²-2x-3。 (2) 设交点式y=a(x+2)(x-4)，利用顶点纵坐标a*(-1)²-9=-9求出a，得y=(x+2)(x-4)或y=x²-2x-8。 - 设垂直于墙的边长为
x米，则平行于墙的边长为(60-2x)米，面积S = x(60-2x) = -2x²+60x，当x=15米时，面积最大，最大面积为450平方米。
希望这份讲义能对你有所帮助！二次函数是中考和高考的重点，务必多加练习，熟练掌握其性质和应用，祝你学习进步！
